微分幾何で度々話題になるのが次の公式です：
\[ \mathcal{L}_X \omega = \text{d}( \iota_X \omega) + \iota_X (\text{d} \omega). \]
カルタンの公式または Cartan’s magic formula と呼ばれます。
ここで \(\mathcal{L}_X\) はベクトル場 \(X\) に沿ったリー微分、\(\omega\) は微分形式、\(\text{d}\) は外微分、\(\iota_X\) は内部積です。
今回はこれを証明するのを目標とします。
なお、ここでの証明は抽象代数でエレガントに示すものではありません。
局所座標で書き下してゴリゴリ計算するタイプです。
前提条件
まず、微分形式 \(\omega\) に対するリー微分を次で定義します：
\[ \mathcal{L}_{X} \omega := \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(\varphi_{\Delta t}) ^{\ast} \omega(\varphi_{\Delta t}(\boldsymbol{x}))-\omega(\boldsymbol{x})}{\Delta t}. \]
ここで \(\varphi_t\) は流れ(flow)です。
厳密な定義はこちら：
流れの定義
\(p=(p^{1},\cdots,p^{m})\) を \(m\) 次元可微分多様体 \(M\) 上の点とする。このとき \(M\) のベクトル場 \(X=X^{\mu} \dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}\) に対する流れ(flow)を次を満たす微分同相写像 \(\varphi _{t} : M \rightarrow M, \, p \mapsto (\varphi^{1} _{t}(p),\cdots,\varphi^{m} _{t}(p))\) として定める：
(i) \(\forall p \in M, \, \varphi _{0}(p)=p\)
(ii) \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}t} \varphi^{\mu} _{t}(p) = X^{\mu}(\varphi _{t}(p)) \, \, \, (1 \leq \mu \leq m).\)
\(t=0\) で位置が変わらないのが注目ポイントです。
次に、\( (\varphi_{\Delta t})^{\ast} \) の \(\ast\) は上付きなので引き戻しを表します。
引き戻しの定義
微分同相な多様体 \(M\) と \(N\) その間の微分同相写像 \(f\) があるとする。
\(M\) での局所座標が \( (\boldsymbol{x})=(x^{1},\cdots, x^{m}) \) で \(N\) での局所座標が \( (\boldsymbol{y})=(y^{1},\cdots, y^{m}) \) のとき、\(k\)-形式の引き戻しは次のように定義される：
\[ f^{\ast}(\omega_{\mu_1 \cdots \mu_k} \text{d} y^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \text{d} y^{\mu_k}):= \omega_{\mu_1 \cdots \mu_k} \left( \frac{\partial y^{\mu_1}}{\partial x^{\mu_1}} \text{d} x^{\mu_1} \right) \wedge \cdots \wedge \left( \frac{\partial y^{\mu_k}}{\partial x^{\mu_k}} \text{d} x^{\mu_k} \right). \]
これで準備が整いました。
カルタンの公式を示しましょう。
証明
定義通り計算する。
\( (\boldsymbol{x}) := (x^{1},\cdots,x^{m}) \) とする。
局所座標 \( (\varphi _{\Delta t}(\boldsymbol{x})) \) から \( (\boldsymbol{x}) \) への引き戻しを使う。
\(\mu\) と \(\nu\) は完全に縮約されているとすると
\begin{eqnarray}
\mathcal{L} _{X} \omega
&=& \lim _{\Delta t \to 0} \frac{(\varphi _{\Delta t}) ^{\ast} \omega(\varphi _{\Delta t}(\boldsymbol{x}))-\omega(\boldsymbol{x})}{\Delta t} \\
&=& \lim _{\Delta t \to 0} \frac{1}{k! \Delta t} \left( \omega _{\mu _{1} \cdots \mu _{k}}(\varphi _{\Delta t}(\boldsymbol{x})) \frac{\partial \varphi _{\Delta t} ^{\mu_{1}}}{\partial x^{\nu_{1}}} \cdots \frac{\partial \varphi _{\Delta t} ^{\mu_{k}}}{\partial x^{\nu_{k}}} – \omega _{\nu _{1} \cdots \nu _{k}} (\boldsymbol{x}) \right) \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d}x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{k!} \left. \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left( \omega _{\mu_{1} \cdots \mu_{k}}(\varphi _{t}(\boldsymbol{x})) \frac{\partial \varphi _{t}^{\mu_{1}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\nu_{1}}} \cdots \frac{\partial \varphi _{t}^{\mu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\nu_{k}}} \right) \right | _{t=0} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{k!} X^{\rho}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\rho}}\text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}}+\frac{1}{k!} \sum_{i=1}^k \omega _{\mu_{1} \cdots \mu_{k}}(\boldsymbol{x}) \prod_{j \neq i} \left( \frac{\partial x^{\mu_j}}{\partial x^{\nu_j}} \right) \frac{\partial X^{\mu_{i}}}{\partial x^{\nu_{i}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{k!} X^{\rho}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\rho}}\text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} +\frac{1}{k!} \sum_{i=1}^k \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{i-1} \mu_{i} \nu_{i+1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial X^{\mu_{i}}}{\partial x^{\nu_{i}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{k!} X^{\rho}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\rho}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} + \frac{1}{k!} \sum_{i=1}^k \omega _{\mu_{i} \nu_{2} \cdots \nu_{i-1} \nu_{1} \nu_{i+1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial X^{\mu_{i}}}{\partial x^{\nu_{i}}} \text{d} x^{\nu_{2}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{i-1}} \wedge \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \text{d} x^{\nu_{i+1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{k!} X^{\rho}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\rho}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} + \frac{1}{(k-1)!} \omega _{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial X^{\mu_{1}}}{\partial x^{\nu_{1}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}}.
\end{eqnarray}
一方、\(\text{d} \iota_X \omega \) は
\begin{eqnarray}
\text{d} \iota _{X} \omega &=& \text{d} \left( \frac{1}{(k-1)!} X^{\mu_{1}} \omega _{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x}) \text{d} x^{\nu_{2}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \right) \\
&=& \frac{1}{(k-1)!} \frac{\partial}{\partial x^{\nu_{1}}} ( X^{\mu_{1}} \omega _{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}} (\boldsymbol{x}) ) \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \text{d} x^{\nu_{2}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{(k-1)!} \frac{\partial X^{\mu_{1}}}{\partial x^{\nu_{1}}} \omega _{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}} (\boldsymbol{x})\text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} + \frac{1}{(k-1)!} X^{\mu_{1}} \frac{\partial \omega_{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}} (\boldsymbol{x})}{\partial x^{\nu_{1}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \\
&=& \frac{1}{(k-1)!} \frac{\partial X^{\mu_{1}}}{\partial x^{\nu_{1}}} \omega _{\mu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}} (\boldsymbol{x})\text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} -\frac{1}{(k-1)!} X^{\mu_{1}} \frac{\partial \omega_{\nu_{1} \nu_{2} \cdots \nu_{k}} (\boldsymbol{x})}{\partial x^{\mu_{1}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}}.
\end{eqnarray}
\(\iota_X \text{d} \omega \) は
\begin{eqnarray}
\iota_{X} \text{d}\omega &=& \iota _{X} \left( \frac{1}{k!} \frac{\partial \omega _{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\nu_{0}}} \text{d} x^{\nu_{0}} \wedge \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}} \right) \\
&=& \frac{k+1}{k!} X^{\nu_{0}} \frac{\partial \omega_{\nu_{1} \cdots \nu_{k}}(\boldsymbol{x})}{\partial x^{\nu_{0}}} \text{d} x^{\nu_{1}} \wedge \cdots \wedge \text{d} x^{\nu_{k}}.
\end{eqnarray}
よって
\[ \mathcal{L}_X \omega = \text{d} \iota_X \omega + \iota_X \text{d} \omega. \, \, \, \square \]
最後に
今回の証明は局所座標に頼りっきりの「美しくない」証明です。
抽象代数でエレガントに証明するのに憧れますね。
ですが、局所座標でゴリゴリ計算してみるのも頭の体操になるのでおすすめです。
では。
参考にした書籍↓
