物理学科の大学院生全員がおののくであろう式がこちらです。
\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu} \]
これは一般相対性理論の要で、時空の曲率と物質の分布を関連付ける極めて重要な式です。
まずはニュートンの万有引力の法則と比較して式を決定するのが一般的ですが、その次にはアインシュタイン・ヒルベルト作用とかいうよくわからないものが出てきます。
それがこちらです。
\[ S_{\text{EH}}= \int \left( \frac{R}{2\kappa}+ \mathcal{L}_{\text{M}} \right) \sqrt{-g} \, \text{d}^4 x \]
\(\mathcal{L}_{\text{M}}\) は物質場に対応するラグランジアンで、\( g := \det (g_{\mu\nu}) \) は計量の行列式です。
この意味自体は正直私にもよくわかりません。
ただ、重力場方程式を導出できる作用なので一般相対性理論をつかさどる作用であることは間違いありません。
ということで、ここではアインシュタイン・ヒルベルト作用(EH作用)から重力場方程式を導いていこうと思います。
クリストッフェル記号の変分
まずはクリストッフェル記号 \( \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} \) の変分を求めたいですね。
結論から言えばこれです：
\[ \delta \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho \tau} (\nabla_\mu \delta g_{\nu\tau} + \nabla_\nu \delta g_{\tau\mu} -\nabla_\tau \delta g_{\mu\nu}). \]
ここで \(\nabla_\mu := \nabla_{\partial_\mu} \) は共変微分、\(g^{\mu\nu} \) は計量の逆行列です。
\(g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho \) を満たします。
証明しましょう。
証明
まずは \(g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho \) の両辺を変分する。
クロネッカーのデルタは定数であり変分してもゼロになるから
\begin{eqnarray}
\delta(g^{\mu\nu}g_{\nu\rho})&=& \delta g^{\mu\nu} \cdot g_{\nu\rho}+g^{\mu\nu} \cdot \delta g_{\nu\rho} \\
&=& 0.
\end{eqnarray}
\( \delta g^{\mu\nu} \cdot g_{\nu\rho}=-g^{\mu\nu} \cdot \delta g_{\nu\rho} \) より、両辺に \(g^{\rho\tau}\) をかけると
\[ \delta g^{\mu\tau}=-g^{\mu\nu}g^{\rho\tau} \delta g_{\nu\rho}. \]
ここで、2階共変テンソル \(A_{\mu\nu}\) に対する共変微分は
\[ \nabla_\rho A_{\mu\nu} = \partial_\rho A_{\mu\nu}-\Gamma^\tau_{\rho\mu} A_{\tau\nu}-\Gamma^\tau_{\rho\nu} A_{\mu\tau} \]
で与えられる。
これらを合わせて計算すると、
\[ \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2} g^{\rho\tau}(\partial_\mu g_{\nu\tau} + \partial_\nu g_{\tau\mu} -\partial_\tau g_{\mu\nu} ) \]
より
\begin{eqnarray}
\delta \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}&=&\frac{1}{2} \delta g^{\rho \tau} (\partial_{\mu} g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} g_{\mu \nu})+\frac{1}{2} g^{\rho \tau} (\partial _{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu}) \\
&=& -\frac{1}{2} g^{\rho \sigma} g^{\lambda \tau} \delta g_{\sigma \lambda} (\partial_{\mu} g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} g_{\mu \nu})+\frac{1}{2} g^{\rho \tau} (\partial_{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu}) \\
&=& -\frac{1}{2} g^{\rho \tau} g^{\lambda \sigma} \delta g_{\tau \lambda} (\partial_{\mu} g_{\nu \sigma}+\partial_{\nu} g_{\sigma \mu}-\partial_{\sigma} g_{\mu \nu})+\frac{1}{2} g^{\rho \tau} (\partial _{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu}) \\
&=& -g^{\rho \tau} \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} \delta g_{\tau \lambda}+\frac{1}{2} g^{\rho \tau} (\partial _{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu}) \\
&=& \frac{1}{2} g^{\rho \tau}(\partial _{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu} -2\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\delta g_{\tau \lambda} ) \\
&=& \frac{1}{2} g^{\rho \tau}(\partial _{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\partial_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\partial_{\tau} \delta g_{\mu \nu} -\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\delta g_{\lambda\tau} -\Gamma^{\lambda}_{\mu \tau}\delta g_{\nu \lambda}-\Gamma^{\lambda}_{\nu\tau}\delta g_{\lambda \mu}-\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu} \delta g_{\tau \lambda}+\Gamma^{\lambda}_{\tau\mu}\delta g_{\lambda \nu}+\Gamma^{\lambda}_{\tau \nu} \delta g_{\mu \lambda}) \\
&=&\frac{1}{2}g^{\rho \tau}(\nabla_{\mu} \delta g_{\nu \tau}+\nabla_{\nu} \delta g_{\tau \mu}-\nabla_{\tau} \delta g_{\mu \nu}). \, \, \, \square
\end{eqnarray}
リッチテンソルの変分
次はリッチテンソル \(R_{\mu\nu}\) を変分しましょう。
結論はこちらです：
\[ \delta R_{\mu\nu} = \nabla_\rho \delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}-\nabla_\nu \delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}. \]
証明
リーマン曲率テンソルは次で与えられる：
\[ R^{\tau}_{\mu \rho \nu}=\partial_{\rho}\Gamma^{\tau}_{\nu \mu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\tau}_{\rho \mu}+\Gamma^{\tau}_{\rho \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\nu \mu}-\Gamma^{\tau}_{\nu \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\rho \mu}. \]
その変分は
\[ \delta R^{\tau}_{\mu \rho \nu}=\partial_{\rho}\delta\Gamma^{\tau}_{\nu \mu}-\partial_{\nu}\delta\Gamma^{\tau}_{\rho \mu}+\delta\Gamma^{\tau}_{\rho \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\nu \mu}+\Gamma^{\tau}_{\rho \sigma}\delta\Gamma^{\sigma}_{\nu \mu}-\delta\Gamma^{\tau}_{\nu \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\rho \mu}-\Gamma^{\tau}_{\nu \sigma}\delta\Gamma^{\sigma}_{\rho \mu}. \]
ここでクリストッフェル記号 \(\Gamma^{\tau}_{\nu\mu}\) は \( (1,2) \) テンソルではないが、その差はテンソルとなる。
よって \(\delta \Gamma^{\tau}_{\nu\mu}\) は \( (1,2) \) テンソルである。
テンソルだから共変微分が求められて、
\[ \nabla_{\rho}\delta \Gamma^{\tau}_{\nu\mu}=\partial_{\rho}\delta \Gamma^{\tau}_{\nu\mu}+\Gamma^{\tau}_{\rho\sigma} \delta \Gamma^{\sigma}_{\nu \mu}-\Gamma^{\sigma}_{\rho \nu} \Gamma^{\tau}_{\sigma \mu}-\Gamma^{\sigma}_{\rho \mu} \Gamma^{\tau}_{\nu \sigma}. \]
よって
\[ \partial_{\rho}\delta \Gamma^{\tau}_{\nu\mu}=\nabla_{\rho}\delta \Gamma^{\tau}_{\nu\mu}-\Gamma^{\tau}_{\rho\sigma} \delta \Gamma^{\sigma}_{\nu \mu}+\Gamma^{\sigma}_{\rho \nu} \Gamma^{\tau}_{\sigma \mu}+\Gamma^{\sigma}_{\rho \mu} \Gamma^{\tau}_{\nu \sigma}. \]
これを上の式に代入して差を取ると
\[ \delta R^{\tau}_{\mu \rho \nu}=\nabla_{\rho} \delta \Gamma^{\tau}_{\nu \mu}-\nabla_{\nu}\delta \Gamma^{\tau}_{\rho \mu}. \]
よって、縮約を取ることにより
\begin{eqnarray}
\delta R_{\mu \nu} &=& \delta R^{\rho}_{\mu\rho\nu} \\
&=& \nabla_{\rho} \delta \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}-\nabla_{\nu}\delta \Gamma^{\rho}_{\rho \mu}. \, \, \, \square
\end{eqnarray}
スカラー曲率の変分
次はスカラー曲率 \(R\) を変分しましょう。
結論はこちらです：
\[ \delta R =R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_{\rho} V^{\rho}. \]
ここで \(V^{\mu}\) はあるベクトルで、積分するとストークスの定理より \(\nabla_{\rho} V^{\rho}\) は消えます。
というわけでこれを示していきましょう。
証明
スカラー曲率は \(R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \) である。
よって
\begin{eqnarray}
\delta R &=& \delta g^{\mu \nu} \cdot R_{\mu\nu} +g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} \\
&=& \delta g^{\mu\nu} \cdot R_{\mu\nu}+\nabla_{\rho} g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}-\nabla_{\nu} g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\rho}_{\rho \mu} \\
&=& \delta g^{\mu\nu} \cdot R_{\mu\nu}+\nabla_{\rho} (g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}-g^{\mu\rho} \delta \Gamma^{\nu}_{\nu\mu}).
\end{eqnarray}
ここで
\[ V^{\rho} = g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}-g^{\mu\rho} \delta \Gamma^{\nu}_{\nu\mu} \]
はベクトルである。\(\square\)
\(\sqrt{-g}\) の変分
最後は \(\sqrt{-g}\) を変分します。
結論から言えばこうです：
\[ \delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}. \]
証明しましょう。
証明
正則行列 \(A\) に対するヤコビの公式 \(\delta \det A= \det A \cdot \text{tr}(A^{-1}\delta A) \) を使う。
よって
\begin{eqnarray}
\delta g &=& g \cdot \text{tr}(g^{\mu\nu} \delta g_{\nu\rho}) \\
&=& -g \cdot \text{tr}(\delta g^{\mu\nu} g_{\nu\rho}) \\
&=& -g \delta g^{\mu\nu} g_{\nu\mu} \\
&=& -g g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}.
\end{eqnarray}
これと連鎖律を使い
\begin{eqnarray}
\delta \sqrt{-g} &=& -\frac{1}{2 \sqrt{-g}} \delta g \\
&=& -\frac{1}{2 \sqrt{-g}} (-g g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}) \\
&=& -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}. \, \, \, \square
\end{eqnarray}
重力場方程式を導く
これでいよいよ重力場方程式が導けます。
EH作用を変分してみましょう。
結論から言えばこうです：
\[ \delta S_{\text{EH}}=0 \implies R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu} \]
証明
EH作用は次で表される：
\[ S_{\text{EH}}= \int \left( \frac{R}{2\kappa}+ \mathcal{L}_{\text{M}} \right) \sqrt{-g} \, \text{d}^4 x. \]
これを \(g^{\mu\nu}\) で変分することを考える。
\(\nabla_{\rho}V^{\rho}\) の項は消えることに注意して変分すると、
\begin{eqnarray}
\delta S_{\text{EH}} &=& \int \frac{R_{\mu\nu}}{2\kappa}\sqrt{-g} \delta g^{\mu\nu}-\frac{R}{4\kappa}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} – \frac{\mathcal{L}_{\text{M}}}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \delta \mathcal{L}_{\text{M}}\sqrt{-g} \, \text{d}^4 x \\
&=& \int \left( \frac{R_{\mu\nu}}{2\kappa}-\frac{R}{4\kappa}g_{\mu\nu}-\frac{\mathcal{L}_{\text{M}}}{2} g_{\mu\nu} + \frac{\delta \mathcal{L}_{\text{M}}}{\delta g^{\mu\nu}} \right) \sqrt{-g} \delta g^{\mu\nu} \text{d}^4 x.
\end{eqnarray}
条件は任意の \(\delta g^{\mu\nu}\) で \(\delta S_{\text{EH}}=0\) なので次を得る：
\[ \frac{R_{\mu\nu}}{2\kappa}-\frac{R}{4\kappa}g_{\mu\nu}-\frac{\mathcal{L}_{\text{M}}}{2} g_{\mu\nu} + \frac{\delta \mathcal{L}_{\text{M}}}{\delta g^{\mu\nu}}=0. \]
移項すると
\[ \frac{R_{\mu\nu}}{2\kappa}-\frac{R}{4\kappa}g_{\mu\nu}=\frac{\mathcal{L}_{\text{M}}}{2} g_{\mu\nu} – \frac{\delta \mathcal{L}_{\text{M}}}{\delta g^{\mu\nu}}. \]
両辺 \(2\kappa\) 倍すると
\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R=\kappa \mathcal{L}_{\text{M}} g_{\mu\nu}-2\kappa \frac{\delta \mathcal{L}_{\text{M}}}{\delta g^{\mu\nu}}. \]
ここで \(T_{\mu\nu}:=\mathcal{L}_{\text{M}}g_{\mu\nu}-\dfrac{2\delta \mathcal{L}_{\text{M}}}{\delta g^{\mu\nu}}\) とすると、
\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu} \]
を得る。\(\square\)
最後に
ここまででEH作用から重力場方程式を導きました。
EH作用は一般相対性理論でも非常に重要な式です。
もしよければ参考にしてみてください。
では。
Mathlogでも曲率を解説してます↓
記事のリンク
参考にした本↓
